三维不等式柯西定理应用举例详解A12

运势 本文介绍三维不等式柯西定理及其证明，并通过四个例子来详细说明该不等式的数学实际应用。

定理公式

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三维不等式柯西定理：

(u₁²+u₂²+u₃²)(v₁²+v₂²+v₃²)≥(u₁v₁+u₂v₂+u₃v₃)²。

定理的证明

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定理证明：

证明：

定义函数f(x)为:

f(x)=(u₁+v₁x)²+(u₂+v₂x)²,

将f(x)转化为二元函数的标准形式y=ax²+bx+c得

f(x)=(v₁²+v₂²)x²+2(u₁v₁+u₂v₂)x+(u₁²+u₂²)

因为f(x)≥0，所以它只有一个解或无解，即

Δ=4(u₁v₁+u₂v₂)²−4(v₁²+v₂²)(u₁²+u₂²)≤0

所以: (v₁²+v₂²)(u₁²+u₂²)≥(u₁v₁+u₂v₂)².

令函数f(x)=0，则每个平方项都必须为0，即

u₁+v₁x=0⇒x=−u₁/v₁,

u₂+v₂x=0⇒x=−u₂/v₂;

则要使函数有零点，即Δ=0,则必须有：

u₁/v₁=u₂/v₂,证毕。

[图]

例题1应用举例

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※.若正数a,b,c,x,y,z满足a²+b²+c²=233,x²+y²+z²=56,求ax+by+cz的最小值。

解：直接使用上述柯西三维不等式有：

(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)≥(ax+by+cz)²,

代入数值即可得：

233*56≥(ax+by+cz)²,即：

(ax+by+cz)²≤13048,

由于所有变量均为正数，则：

ax+by+cz≤2√3262，

所以ax+by+cz的最小值为：2√3262.

[图]

例题2应用举例

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※.若正数x,y,z满足x²+y²+z²=1,求x+y+z的最小值。

解：使用柯西三维不等式有：

(x²+y²+z²) (a²+b²+c²)≥(x+y+z)², 即：

(x²+y²+z²) (1²+1²+1²)≥(x+y+z)²，则：

3≥(x+y+z)²,进一步有：

(x+y+z)²≤3，

所以正数x+y+z的最小值=√3。

[图]

例题3应用举例

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※.若a+b+c=263,求256a²+144b²+9c²的最小值。

解：使用上述不等式，出现和的平方，即已知条件转换为不等式右边和的平方，则所求代数式需要变形成两个三项式平方和的乘积。

256a²+144b²+9c²=(16a)²+(12b)²+(3c)²

进一步变形为：

[(16a)²+(12b)²+(3c)²][(1/16)²+(1/12)²+(1/3)²]，

≥[(16a/16)+(12b /12)+(3c/3)]²，

=(a+b+c)²=263²，即：

(256a²+144b²+9c²)*(281*12²/576²)≥263²，

所以：256a²+144b²+9c²≥(1/281)*12624²。

[图]

例题4应用举例

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※.若24x+3y+30z=9,求x²+y²+z²的最小值。

解：运用三维柯西不等式，有：

(x²+y²+z²)(24²+3²+30²)≥(24x+3y+30z)²,即：

(x²+y²+z²)(24²+3²+30²)≥9²,

(x²+y²+z²)*1485≥9²,

x²+y²+z²≥9²/(1485),

即：x²+y²+z²≥3/55,

所以x²+y²+z²的最小值=3/55。

[图]

编辑于2025-05-13，内容仅供参考并受版权保护