这里将1/(Z^2+1)(Z-2)展开成洛朗级数，Z区域为1到2

可利用圆环域内解析的函数展开为洛朗级数的唯一性来计算。

f(z)=1/[z(1-z)^2]=1/z+1/(1-z)+1/(1-z)^2

=(1/2)/[1-(2-z)/2]-1/[1-(2-z)]+1/[1-(2-z)]^2

=(1/2)[1+(2-z)/2+(2-z)^2/2^2+...+(2-z)^n/2^n+...]-[1+(2-z)+(2-z)^2+...+(2-z)^n+...]+[1+2(2-z)+3(2-z)^2+...+(n+1)(2-z)^n+...]

=∑(n=0→+∞)[n+1/2^(n+1)](2-z)^n。 上式没有出现负幂项是因为f(z)在z=2处是解析的。

扩展资料：

复系数洛朗级数是复分析中的一个重要工具，尤其在研究函数奇点附近的行为时。

e和洛朗近似：见文中解释。随着洛朗级数负次数的增长，图像接近正确的函数。e和洛朗近似的负次数的增长。奇点零的邻域不能被近似。

考虑例如函数，它的 。作为实变函数，它是处处无穷可微的；但作为一个复变函数，在x= 0处不可微。用−1/x替换指数函数的幂级数展开式中的x，我们得到其洛朗级数，对于蚂泛侮除了奇点X= 0以外的所有复数，它都收敛并等于ƒ(x)。旁边的图显示了e（黑色）和它的洛朗近似。

对于N= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7到50。当N→ ∞，近似对除了奇点x= 0处的所有复数x都很精确。

更一般地，洛朗级数脾裁可以用来表达定义在圆环上的全纯函数，就像幂级数被用于表达一个圆盘段鉴上定义全纯函数一样。

参考资料来源：百度百科-洛朗级数

编辑于2022-12-11，内容仅供参考并受版权保护