曲线4y²-4xy+9=0的性质及图像示意图

教育 本经验通过函数的定义域、单调性、凸凹性等性质，介绍函数用导数工具画隐函数4y²-4xy+9=0的图像的主要步骤。

主要方法与步骤

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将方程变形成y的二次方程，二次方程有解则判别式为非负数，进而求解出函数的定义域。

[图]2/10

函数的定义域是指所有合法的输入值的集合。函数的定义域可以是任何集合，但通常是实数集或整数集等。

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函数的单调性，求出函数的一阶导数，此时导数表达式中既含有自变量x，也含有因变量y。

[图]4/10

将变量进行变形，得解析以y表示的一阶导数的表达式，再计算曲线的驻点，根据驻点符号，进一步可判断函数的单调性。

[图]5/10

如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之，若x∈D时，f'(x)<0,则称函数y=f(x)在区间D内单调减少。

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计算出函数的二阶导数，判断函数的二阶导数符号，即可解析函数的凸凹性。

[图]7/10

如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)>0恒成立，那么在区间I上f(x)的图像上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图像都在该线段的下方，反之在该线段的上方。

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以函数的定义域以及单调、凸凹性，以y对应求出x坐标，列举函数上部分点。

[图]9/10

将上述坐标，把五点图进行变化，调整为以x表示为y。

[图]10/10

根据以上函数的定义域、单调性、凸凹性等性质，并结合函数的单调区间和凸凹区间，函数的示意图如下：

[图]

编辑于2024-04-21，内容仅供参考并受版权保护