那些如何画出函数y=2^(5x^2+5x+5)的示意图

主要方法与步骤

指数复合函数，可得函数自变量x可以取全体实数，由函数特征知函数的自变量x可以取全体实数，即定义域为：（-∞，+∞）。

通过一阶导数，求出函数的驻点，判断驻点的符号，进而求出函数的单调区间。

对于本题,该复合函数可由以下两个函数复合而成:

y=2^u,u=2^(5x^2+5x+5），

其中y=2^u,是指数函数，在定义域上为增函数。

则当u为增函数时，y为增函数，反之亦然。

对于u=5x^2+5x+5为二次函数，单调性与开口和对称轴有关，其中开口向上，对称轴为x=-1/2,则：

(1)当x∈(-∞，-1/2)时，函数为减函数；

(2)当x∈(-1/2,+∞)时，函数为增函数。

计算函数的二阶导数，再根据二阶导数的符号，判断函数的凸凹性，进而解析函数的凸凹区间。

dy/dx=2^(5x^2+5x+5)*ln2*(10x+5)

d^2y/dx^2

=ln2*[2^(5x^2+5x+5)(10x+5)^2*ln2+2^(5x^2+5x+5)*10]

=ln2*2^(5x^2+5x+5)[(10x+5)^2*ln2+10]

∵(10x+5)^2>0,∴(10x+5)^2*ln2+10>0,

即d^2y/dx^2>0，则函数的图像为凹函数。

求出函数在正负无穷大处和不定义点处的极限。

计算列出函数上部分点，以解析表列表如下：

函数示意图，综合以上性质，函数的示意图如下：

函数一阶导数的应用：

举例求点A(0,2^5)处的切线和法线方程。

在点A(0,2^5)处，有:dy/dx=5*2^5*ln2,即为切线的斜率，

则切线方程为：y-2^5=5ln2*2^5*x,

法线的斜率与切线的斜率乘积为-1，即可求出法线方程为：

y-2^5=-x/(5ln2*2^5).

举例求点B(-1/2, 2^(15/4))处的切线和法线方程。

在点B(-1/2,2^(15/4))处，有:

dy/dx=ln2*0=0,即为切线的斜率，

则切线方程为：y=2^(15/4),

此时法线的斜率不存在，则法线方程为：

x=-1/2.